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面积的单位换算、公式及计算
更新时间:2019-11-06 16:50 浏览:131 关闭窗口 打印此页

  面积的单位换算、公式及计算 计算 长方形: {长方形面积=长×宽}[1] 正方形: {正方形面积=边长×边长} 平行四边形: {平行四边形面积=底×高} 三角形: {三角形面积=底×高÷2} 梯形: {梯形面积=(上底+下底)×高÷2} 圆形(正圆): {圆形(正圆)面积=圆周率×半径×半径} 圆环: {圆形(外环)面积={圆周率×(外环半径^2-内环半径^2)} 扇形: {圆形(扇形)面积=圆周率×半径×半径×扇形角度/360} 长方体表面积: {长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2} 正方体表面积: {正方体表面积=棱长×棱长×6} 球体(正球)表面积: {球体(正球)表面积=圆周率×半径×半径×4} 椭圆 (其中 π (圆周率,a,b 分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 半圆: (半圆形的面积公式=圆周率×半径的平方÷2) 面积单位换算 常用的面积单位有公顷、亩、平方公里、平方米、平方厘米等。这里所说的换算,常指面积之间单位 的互换计算。如:1 亩=0.0666666 公顷=666.6666 平方米等。 目录 1 常用公式 2 台湾公式 3 国外公式 1 常用公式 常用土地面积换算公式 1 亩=60 平方丈=6000 平方尺,1 亩=666.6 平方米 其实在民间还有一个更 实用的口决来计算: 平方米换为亩,计算口诀为“加半左移三”。1 平方米=0.0015 亩,如 128 平方米等于多少亩?计算 方法是先用 128 加 128 的一半:128+64=192,再把小数点左移 3 位,即得出亩数为 0.192。 亩换平方米,计算口诀为“除以三加倍右移三”。如要计算 24.6 亩等于多少平方米,24.6÷3=8.2, 8.2 加倍后为 16.4,然后再将小数点右移 3 位,即得出平方米数为 16400。 市亩和公亩以及公顷又有很大的差异,具体换算公式如下: 1 公顷=15 亩=100 公亩=10000 平方米 1(市)亩等于 666.66 平方米 1 公顷等于 10000 平方米 1 公亩等于 100 平方米 2 台湾公式 1 坪=3.30579 平方米 3 国外公式 1 英亩等于: - 0.004 047 平方公里 - 0.404 686 公顷 - 40.468 648 公亩 - 1,224.176 601 坪 - 160 平方杆 - 4046.864 798 平方米 - 4,840 平方码 - 43,560 平方英尺 - 1 平方码 = 0.000 207 英亩- 1 平方公里 = 247.105 英亩 - 1 公顷 = 2.471 049 英亩 - 1 公亩 = 0.024 710 英亩 - 1 坪 = 0.000 817 英亩 - 1 平方杆 = 0.006 25 英亩 - 1 平方米 = 0.000 247 英亩 1 亩=666.6666666.平方米 1 公顷 = 10 000 平方米(square meters) 1 公顷 = 100 公亩(ares) 1 公顷 = 15 亩 1 公顷 = 2.471 053 8 英亩(acres) 1 公顷 = 0.01 平方公里(平方千米)(square kilometers) 1 平方公里=100 公顷 1 亩=0.0666666 公顷=666.6666 平方米 1 公亩=100 平方米 面积公式 面积公式包括 扇形面积公式,圆形面积公式,弓形面积公式,菱形面积公式,三角形面积公式,梯 形面积公式等多种图形的面积公式。 目录 1 扇形公式 2 扇环面积 3 三角形公式 ? 海伦公式 ? 坐标公式 4 圆公式 5 弓形公式 6 椭圆公式 7 菱形公式 ? 定理简述及证明 ? 定理应用 ? 常见的面积定理 1 扇形公式 在半径为 R 的圆中,因为 360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积 S=π R^2,所以圆心角为 n° 的扇形面积: 比如:半径为 1cm 的圆,那么所对圆心角为 135°的扇形的周长: C=2R+nπ R÷180 =2×1+135×3.14×1÷180 =2+2.355 =4.355(cm)=43.55(mm) 扇形的面积: S=nπ R^2÷360 =135×3.14×1×1÷360 =1.1775(cm^2)=117.75(mm^2) 扇形还有另一个面积公式 其中 l 为弧长,R 为半径[1] 2 扇环面积 圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率 X(大直径+小直径)) 圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率 X 大半径的平方-圆周率 X 小半径的平方\圆周率 X(大半径的平 方-小半径的平方) 用字母表示: S 内+S 外(π R 方) S 外—S 内=∏(R 方-r 方) 还有第二种方法: S=π [(R-r)×(R+r)] R=大圆半径 r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径 还有一种方法: 已知圆环的外直径为 D,圆环厚度(即外内半径之差)为 d。 d=R-r, D-d=2R-(R-r)=R+r, 可由第一、二种方法推得 S=π [(R-r)×(R+r)]=π (D-d)×d, 圆环面积 S=π (D-d)×d 这是根据外直径和圆环厚度(即外内半径之差)得出面积。这两个数据在现实易于测量,适用于计算 实物,例如圆钢管。[2] 3 三角形公式 海伦公式 任意三角形的面积公式(海伦公式):S^2=p(p-a)(p-b)(p-c), p=(a+b+c)/2, a.b.c 为三角形三 边。 证明: 证一 勾股定理 分析:先从三角形最基本的计算公式 S△ABC = aha 入手,运用勾股定理推导出海伦公式。 证明:如图 ha⊥BC,根据勾股定理,得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时 S△ABC 为变形④,故得证。 证二:斯氏定理 分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出 ha。 斯氏定理:△ABC 边 BC 上任取一点 D, 若 BD=u,DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明:由证一可知,u = v = ∴ ha 2 = t 2 = - ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为 S△ABC 的变形⑤,故得证。 证三:余弦定理 分析:由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 对其进行证明。 证明:要证明 S = 则要证 S = = = ab×sinC 此时 S = ab×sinC 为三角形计算公式,故得证。 证四:恒等式 分析:考虑运用 S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数 的恒等式。 恒等式: 若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明:如 图,tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式,得: + + = ①②③代入,得: ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x ∴x = 同理:y = z = 代入 ④,得: r 2 · = 两 边同乘以 ,得: r 2 · = 两边开方,得: r · = 左边 r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变 形①,故得证。 证五:半角定理 半角定理:tg = tg = tg = 证明:根据 tg = = ∴r = × y ① 同理 r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得: r3 = ×xyz[3] 坐标公式 1:△ABC,三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2), S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣/2. 2:空间△ABC,三顶点的坐标分别为 A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为 S,则 S^2=(a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)^2+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+ (a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2.[4] 4 圆公式 设圆半径为 :r, 面积为 :S . 则 面积 S= π ·r^2 ; π 表示圆周率 即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方 5 弓形公式 设弓形 AB 所对的弧为弧 AB,那么: 当弧 AB 是劣弧时,那么 S 弓形=S 扇形-S△AOB(A、B 是弧的端点,O 是圆心)。 当弧 AB 是半圆时,那么 S 弓形=S 扇形=1/2S 圆=1/2×π r^2。 当弧 AB 是优弧时,那么 S 弓形=S 扇形+S△AOB(A、B 是弧的端点,O 是圆心) 计算公式分别是: S=nπ R^2÷360-ah÷2 S=π R^2/2 S=nπ R^2÷360+ah÷2 6 椭圆公式 椭圆面积公式: S=π ab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π )乘该椭圆长半轴长(a)与短 半轴长(b)的乘积。 椭圆面积公式应用实例[5] 椭圆的长半轴为 8cm,短半轴为 6cm,假设 π =3.14,求该椭圆的面积。 答:S=π ab=3.14*8*6=150.72(cm?) 7 菱形公式 定理简述及证明 菱形面积=对角线乘积的一半,即 S=(a×b)÷2 菱形的面积也可=底乘高 抛物线弓形面积公式 抛物线弦长公式及应用 本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物 线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考. 抛物线弓形面积公式等于:以割线为底,以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的 3/4,即: 抛物线*S 定理 直线)被抛物线Px 截得的弦 AB 的长度为 ∣AB∣= ① 证明 由 y=kx+b 得 x=代入 y^2=2Px 得 y2-+=0 ∴ y1+y2=,y1y2=. ∣y1-y2∣==2, ∴∣AB∣=∣y1-y2= 当直线)过焦点时,b=-,代入①得∣AB∣=P(1+k2), 于是得出下面推论: 推论 1 过焦点的直线)被抛物线Px 截得的弦 AB 的长度为 ∣AB∣=P(1+k2) ② 在①中,由容易得出下面推论: 推论 2 己知直线 l: y=kx+b(k≠0)及抛物线Px Ⅰ)当 P2bk 时,l 与 C 交于两点(相交); Ⅱ)当 P=2bk 时,l 与 C 交于一点(相切); Ⅲ)当 P2bk 时,l 与 C 无交点(相离). 定理应用 下面介绍定理及推论的一些应用: 例 1 (课本 P.57 例 1)求直线 y=x+被抛物线 截得的线段的长? 分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把 x 看成 y 用①即可. 解 曲线,直线方程可变形为 x=y-, 即 k=1,b=-.由①得∣AB∣=4. 例 2 求直线 的最短距离. 分析:可求与已知直线平行并和曲 线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离. 解 曲线 知 k=-2.由推论 2,令 2bk=P,解得 b=-.∴所 求直线. ∴. 故所求最短距离为. 例 3 当直线 与曲线 有交点时,求 k 的范围. 解 曲线.直线,令 2bk≤P,即 2k(2-k)≤,解得 k≤1-或 k≥1+.故 k≤1-或 k≥1+时直线与曲线有交点. 注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误. 例 4 抛物线Px 内接直角三角形,一直角边所在直线.求抛物线的方程. 解 设直角三角形为 AOB.由题设知 kOA=2,kOB=-.由①, OA=, OB=4P.由OA2+OB2=AB2,得 P=.∴抛物线 设 O 为抛物线的顶点,F 为焦点,PQ 为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求 SΔ OPQ 解 以 O 为原点,OF 为 x 轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线a),设 PQ 的斜率为 k,由②PQ=, 已知PQ=b,k^2=.∵k^2=tg2θ ∴sin2θ =.即 sinθ =, ∴SΔ OPQ=SΔ OPF+SΔ OQF =aPFsinθ +aFQsin(π -θ )=ab sinθ =. 常见的面积定理 1. 一个图形的面积等于它的各部分面积的和; 2. 两个全等图形的面积相等; 3. 等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底的和相等)的面积相等; 4. 等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高(或底)的比; 5. 相似三角形的面积比等于相似比的平方; 6. 等角或补角的三角形面积的比,等于夹等角或补角的两边的乘积的比;等角的平行四边形面积比 等于夹等角的两边乘积的比; 7. 任何一条曲线都可以用一个函数 y=f(x)来表示,那么,这条曲线所围成的面积就是对 X 求积分

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